Statistika Maxwell-Boltzmann

Dalam statistik ini setiap tingkat energi dianggap dapat ditempati oleh partikel mana saja dan setiap tingkat energi memiliki probabilitas yang sama untuk ditempati. Mencari probabilitas penempatan partikel adalah mencari jumlah cara bagaimana partikel tersebut ditempatkan. Jika N adalah jumlah keseluruhan partikel yang terlibat dalam sistem ini, maka cara penempatan partikel adalah sebagai berikut:

v  Untuk menempatkan partikel pertama ada N cara (karena ada N partikel yang terlibat).

v  Untuk menempatkan partikel yang kedua ada (N – 1) cara (karena sesudah penempatan partikel pertama masih terdapat (N – 1) partikel).

v  Untuk menempatkan partikel yang ketiga ada (N – 2) cara, dan seterusnya. Jumlah cara untuk menempatkan n1 dari N partikel di tingkat E1 adalah N(N −1)(N − 2)(N − 3)......(N − n1)

Mekanika statistik dikembangkan sebagai kebutuhan untuk memberi landasan yang kokoh bagi fenomena termodinamik. Dua fisikawan mashur disebut sebagai pelopornya, yaitu Boltzman di Jerman dan Gibbs di Amerika Serikat. Bab ini akan membahas penurunan persamaan gas ideal dengan menggunakan konsep fisika statistik yaitu statistik Maxwell-Boltzman. Perhatikan bahwa persamaan gas ideal dituliskan bukan dalam bentuk sebab melalui pendekatan mekanika statistik kita mulai mempersoalkan gerak molekul-molekul gas.

Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi zarah klasik “terbedakan”. Sistem zarah klasik terbedakan merupakan sistem zarah yang konfigurasinya berbeda ketika dua atau lebih zarah dipertukarkan. Dengan kata lain, konfigurasi

zarah A di dalam keadaan 1 dan zarah B di dalam keadaan 2 berbeda dengan konfigurasi ketika zarah B berada dalam keadaan 1 sedangkan zarah A dalam keadaan 2.  

    Ketika gagasan di atas diimplementasikan akan dihasilkan distribusi (Boltzmann) biasa bagi zarah dalam berbagai tingkat energi. Fungsi distribusi ini menghasilkan hasil yang kurang fisis untuk entropi, sebagaimana ditunjukkan dalam “paradoks Gibbs” [1,2,3,4]. Namun, masalah itu tidak muncul pada peninjauan statistik ketika semua zarah dianggap tak terbedakan. Secara khusus, statistika Maxwell-Boltzmann berguna untuk mempelajari berbagai sifat gas mampat.

Ruang Fase

Ruang fase sangat berguna dalam membahas distribusi kecepatan molekul. Setiap titik dalam ruang fase adalah representasi lengkap dari posisi dan kecepatan setiap molekul. Jika kecepatan setiap molekul dinyatakan sebagai vektor dengan titik tangkap pada pusat koordinat maka vektor-vektor ini akan menembus permukaan khayal tertentu. Untuk setiap vektor kecepatan berlaku :

 

Setiap vektor yang bersesuaian dengan satu molekul dan direpresentasikan oleh anak panah dapat diwakili oleh ujung vektor berupa titik. Titik-titik ini akan membetuk sebuah ruang yang kita sebut sebagai ruang kecepatan (velocity space).

          Ruang repsentasi kecepatan adalah ruang tiga dimensi Kartesian dengan dan.. Pada ruang kecepatan, ada kemungkinan dua buah vektor berimpit. Keadaan ini bersesuaian dengan keadaan bahwa dua molekul memilki kecapatan yang persis sama, kendati posisinya berbeda. Dalam ruang fase, tidak mungkin ada dua titik representasi berimpit sebab posisi setiap molekul unik.

Suatu elemen volume  dalam ruang fase diasumsikan mengandung banyak sekali titik representasi. Elemen-elemen volume selanjutnya dipandang sebagai bilik kemudian diberi nomor. Kita dapat mendefinisikan densitas pada masing-masing elemen volume ini 

 

Densitas ini akan merupakan fungsi dari 3 peubah ruang dan 3 peubah kecepatan; dan perlu dirumuskan bentuk eksplisinya.

      Keadaan Mikro dan Keadaan Makro

Keadaan mikro dapat dipandang sebagai satu hasil pemotretan dimana data lengkap posisi dan kecepatan setiap molekul diketahui. Jika pada berbagai titik waktu dilakukan pemotertan, maka setiap hasil pemotretan ini adalah satu keadaan mikro.

Ada kemungkinan dari sekian banyak keadaan mikro sebenarnya merepresentasikan keadaan makro yang sama. Jumlah keadaan mikro untuk suatu keadaan makro dapat berbeda-beda. Mislanya seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut :

 

Gambar 7.1: Ilustrasi sebuah keadaan makro.

 

      Bobot Statistik

Andaikan buah molekul terbagi ke dalam bilik dimana masing-masing bilik berisi

 

dimana biasa juga disebut sebagai bobot statistik (Statistical weight). Faktorial dari bilangan yang ordernya hinggan akan sangat besar sehingga perlu trik khusus untuk menghitungnya. Kita akan menggunakan pendekatan Stirling yaitu 

Selanjutnya, kita akan merumuskan entropi yang secara mekanika statistik didefinsikan sebagai :

 

Posted in: Fisika Statistik